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克萊因瓶

    命名來源

  克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的,因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fl?che”是“克萊因平面”的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche,這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊,“瓶子”這個詞用起來也非常合適。
  在1882年,著名數學家菲利克斯·克萊因(Felix Klein)發現了后來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的(也就是說沒有邊)曲面,但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到,克萊因瓶的確就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底,它的瓶頸被拉長,然后似乎是穿過了瓶壁,最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話,我們就會得到一個輪胎面(即環面)。

    描述

  克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形,而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶,有一點似乎令人困惑--克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的,換句話說,瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。但是事實卻非如此。
  事實是:克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中,我們只好將就點,把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。事實上,克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的,并不穿過瓶壁。用扭結來打比方,如果把它看作平面上的曲線的話,那么它似乎自身相交,再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白,這個圖形其實是三維空間中的曲線。它并不和自己相交,而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣,但是如果有第三維的話,它就可以穿過第三維來避開和自己相交。只是因為我們要把它畫在二維平面上時,只好將就一點,把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣,這是一個事實上處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模樣;就好像最高明的畫家,在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是,如果把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去,竟會得到兩個莫比烏斯環。如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話,克萊因瓶只能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在制作莫比烏斯帶的過程中,我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連,這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中,朝任意方向前進都可以回到原點的模型,而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。但是只有在兩個特定的方向上才會回到原點,并且只有在其中一個方向上,回到原點之前會經過一個“逆向原點”,真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進,都會先經過一次“逆向原點”,再回到原點。而制作這個模型,則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”,主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的,克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建筑,藝術,工業生產中。

    拓撲學的定義

  克萊因瓶定義為正方形區域 [0,1]×[0,1] 模掉等價關系(0,y)~(1,y), 0≤y≤1 和 (x,0)~(1-x,1), 0≤x≤1。類似于 Mobius Band, 克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入 ,而克萊因瓶只能嵌入四維(或更高維)空間。

    莫比烏斯帶

  把一條紙帶的一段扭180°,再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個只有莫比烏斯帶、一個面的曲面,但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是,它有邊(注意,它只有一條邊)。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿著它們唯一的邊粘合起來,你就得到了一個克萊因瓶(當然不要忘了,我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合,否則的話就不得不把紙撕破一點)。同樣地,如果把一個克萊因瓶適當地剪開來,我們就能得到兩條莫比烏斯帶。除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣,還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同,但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面--克萊因瓶。
  實際上,可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道,在平面上畫一個圓,再在圓內放一樣東西,假如在二度空間中將它拿出來,就不得不越過圓周。但在三度空間中,很容易不越過圓周就將其拿出來,放到圓外。將物體的軌跡連同原來的圓投影到二度空間中,就是一個“二維克萊因瓶”,即莫比烏斯帶(這里的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶)。再設想一下,在我們的3°空間中,不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃,但在四度空間里卻可以。將蛋黃的軌跡連同蛋殼投影在三度空間中,必然可以看到一個克萊因瓶。

    制造經歷

  事實上,德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想,即拓撲學的大怪物--克萊因瓶。這種瓶子根本沒有內、外之分,無論從什么地方穿透曲面,到達之處依然在瓶的外面,所以,它本質上就是一個“有外無內”的古怪東西。 盡管現代玻璃工業已經發展得非常先進,但是,所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子里頭的“虛構物”,根本制造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來,作為獻給國際數學家大會的禮物。然而,等待他們的是一個失敗接著一個失敗。也有人認為,即使造不出玻璃制品,能造出一個紙模型也不錯呀。如果真的解決了這個問題,那可是個大收獲啊!
  克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中,克萊因瓶必然跟自身相交,用數學的語言說,這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入(immersion)

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