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最優控制理論

簡介

這方面的開創性工作主要是由貝爾曼(R.E.Bellman)提出的動態規劃和龐特里亞金等人提出的最大值原理。這方面的先期工作應該追溯到維納(N.Wiener)等人奠基的控制論(Cybernetics)。1948年維納發表了題為《控制論—關于動物和機器中控制與通訊的科學》的論文,第一次科學的提出了信息、反饋和控制的概念,為最優控制理論的誕生和發展奠定了基礎。

主要方法

為了解決最優控制問題,必須建立描述受控運動過程的運動方程,給出控制變量的允許取值范圍,指定運動過程的初始狀態和目標狀態,并且規定一個評價運動過程品質優劣的性能指標。通常,性能指標的好壞取決于所選擇的控制函數和相應的運動狀態。系統的運動狀態受到運動方程的約束,而控制函數只能在允許的范圍內選取。因此,從數學上看,確定最優控制問題可以表述為:在運動方程和允許控制范圍的約束下,對以控制函數和運動狀態為變量的性能指標函數(稱為泛函)求取極值(極大值或極小值)。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態規劃。

研究內容

最優控制理論所研究的問題可以概括為:對一個受控的動力學系統或運動過程,從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案,使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時,其性能指標值為最優。這類問題廣泛存在于技術領域或社會問題中。

例如,確定一個最優控制方式使空間飛行器由一個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少,選擇一個溫度的調節規律和相應的原料配比使化工反應過程的產量最多,制定一項最合理的人口政策使人口發展過程中老化指數、撫養指數和勞動力指數等為最優等,都是一些典型的最優控制問題。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的。蘇聯學者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學者R.貝爾曼1956年提出的動態規劃,對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。線性系統在二次型性能指標下的最優控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。

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